Підвищення кваліфікації вчителів математики: Осіння сесія 2026

Лекція присвячується пам’яті Заслуженого вчителя України Рудольфа Петровича Ушакова.

Оптимізуємо суму попарних добутків чисел із двох наборів: транснерівність та її наслідки. Нерівність Чебишова: дискретний варіант і його геометричне тлумачення, неперервний аналог, запис для випадкових величин. Виділення впорядкованого набору із скінченного набору: теорема Ердеша-Секереша, неможливість зменшити довжину початкового набору.

Виклад супроводжується задачами, які автор пропонував на Київській та Всеукраїнській олімпіадах юних математиків.

Цікаво, як дискретна нерівність Чебишова поширюється на інтеграли і зрештою на математичні сподівання випадкових величин. Під інтегралом можна розглядати добуток будь-якої скінченної кількості функцій.

Нерівність Чебишова пов'язана з комонотонними розподілами. Випадкові величини X, Y комонотонні, якщо з імовірністю 1 вектор (X,Y) належить комонотонній множині в R^2. Множина A комонотонна в R^2, якщо у ній немає таких двох точок u,v, що u_1>v_1, u_2<v_2. Скажімо, при укладанні страхового контракту на супружню пару варто враховувати, що їхні ризики X, Y зазвичай мають комонотонний розподіл.

У тезах я згадую таких видатних науковців: російський академік Пафнутій Львович Чебишов (1821-1894), угорський математик Пал Ердеш (1913-1996), угорсько-австралійський математик Дьйордь Секереш (1911-2005).

Про що піде мова?

Протягом лекції ми поговоримо про виникнення неперіодичних та квазіперіодичних об'єктів у природі та математиці, порівняємо існуючі підходи до їх математичного моделювання та розглянемо які розділи сучасної математики для цього необхідні.

Під час практичної частини ми разом побудуємо низькорозмірні квазікристали, використовуючи виключно шкільну математику.

Також буде сформульовано ряд задач для школярів, пов'язаних з квазікристалами.

Криптографія — складний та насичений напрям науки на межі прикладної математики та комп'ютерних наук.

Сучасні криптографічні системи побудовані із залученням теорії чисел, абстрактної та прикладної алгебри, комбінаторики, теорії ймовірностей, теорії інформації та кодування. Тому до шифрів, які були створені в античні часи або в часи Середньовіччя (ми називаємо їх "класичними") сучасні науковці схильні ставитись як до дитячих забавок.

Однак саме через свою простоту класичні шифри дозволяють яскраво проілюструвати різні математичні концепції та навіть формулювати маленькі, але справжні дослідницькі задачі. 🙂

Ми будемо розбиратись, як працюють ці механіки і як можна заохочувати учнів до занурення в математичні аспекти криптографії.

Про що іде мова?

1) Трохи історії статистики

2) Деякі "пастки" статистики (парадокс Сімпсона: альтруїзм і еволюція; парадокс Берксона: чи правда, що курці рідше хворіють на COVID)

3) ''Шкільна" статистика: деякі типові задачі